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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{陈佳颖}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\everymath{\displaystyle}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2012年数学分析}
\begin{problem}[本题满分60分，每小题10分]计算下列各题:\\
1、求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2-2}}-\cdots-\frac{1}{\sqrt{n^2-n}}\right)$.\\
2、计算积分$I=\int_{0}^{4}e^{\sqrt{x}}dx$.\\
3、求级数$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n^{2}-1)3^{n}}$的和.\\
4、计算二重积分$I=\iint_D|x-y|dxdy$,其中$D$为半径为$R$的圆域$x^{2}+y^{2}=R^{2}$的上半部分.\\
5、计算$\begin{aligned}I=\iint_{\sum}(8y+1)xdydz+2(1-y^{2})dzdx-4yzdxdy\end{aligned}$.\\
其中$\sum$是曲线${L}:\begin{cases}z=\sqrt{y-1}\\x=0\end{cases}\quad(1\leq y\leq3)$绕$y$轴旋转所成的曲面的外侧.\\
6、已知曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线方程为：$y-2x+2=0$,求极限:$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t}f(1+e^{x}-e^{t})dt}{1-\cos x}.$
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
设$f(x)$在$[a,b]$二阶可导，且$f(b)=0$,令$g(x)=(x-a)^2f(x)$,证明方程$g^{\prime\prime}(x)=0$在$(a,b)$上有解.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
设$f(x)={x}e^{-x^{2}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt$\\
1、求$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$,并证明$f(x)$在$[0,+\infty)$有界；\\
2、证明$x\int_{0}^{\pi}e^{t^{2}}dt\leq e^{x^{2}}-1,x\in[0,+\infty)$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}x^{2}e^{-nx}$在$(0,+\infty)$一致收敛；并说明其和函数$f(x)$的连续性
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分10分]\\
设$f(x)$在有限区间$(a,b)$一致连续，证明$[f(x)]^{2}$在$(a,b)$一致连续。
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分10分]\\
设函数$f(x)$在$[a,b]$非负可积，在点$x_{0}\in(a,b)$连续且$f(x_{0})>0.$.证明：存在$c$使得$\int_{a}^{b}f(x)dx>c$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
定义黎曼函数：$R(x)=\frac{1}{p},x=\frac{q}{p}\quad , p\geq1, p,q$互质；$R(x)=0,x$为无理数.\\
1、证明$R(x)$在$[0,1]$上可积；\\
2、证明$R(x)$在$[0,1]$上无原函数；\\
3、求$\int_0^1R(x)dx$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分10分]\\
设$\{f_{n}\}$为$[a,b]$上的连续函数列，且$f_{1}\geq f_{2}\geq\cdots\cdots$,又$\lim_{n\to\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right)$在$[a,b]$上处处存在，证明$f(x)$在$[a,b]$上有最大值。
\end{problem}

\end{document}